# Distribution of Prime Numbers

Distrubution and Density of Prime Numbers

**If :**

**(Pu = (P ∪ {1})\{2,3,5,7}) **

**Then:**

**{1,5,7} x (Pu ᴜ (Pu x Pu)) = **

**= (6(Pu ᴜ (Pu x Pu) + {5,7})) ᴜ (30(Pu ᴜ (Pu x Pu) + {7})) ᴜ (42(Pu ᴜ (Pu x Pu) + {5}))**

**(Pu ∪ (Pu x Pu)) = [(12N ± {1}) ∪ (12N ± {5})] \ [(30N ± {5}) ∪ (42N ± {7})]**

**(Pu ∪ (Pu x Pu)) = **

**= [(30Pu + {7}) ∪ (42Pu + {5}) ∪ (30(Pu x Pu) + {7}) ∪ (42(Pu x Pu) + {5}) ∪ (6(Pu ∪ (Pu x Pu)) + {5,7})] \ [(30N ± {5}) ∪ (42N ± {7})]**

**If:**

**(Pu ᴜ (Pu x Pu)) = (Pu ᴜ (Pu x Pu)) _{11} ᴜ (Pu ᴜ (Pu x Pu))_{13}**

**where:**

**(Pu ᴜ (Pu x Pu)) _{11}\{1} = [(6N + {5})] \ [(30N ± {5})]**

**(Pu ᴜ (Pu x Pu))**

_{13}\{1} = [(6N + {7})] \ [(30N ± {5}) ᴜ (42N ± {7})]

**then:**

**(Pu ᴜ (Pu x Pu)) _{11}\{1} = (12N + {5}) ᴜ (18N + {5}) ᴜ (42N + {5}) ∪ (6(Pu ∪ (Pu x Pu)) + {5}))**

**(Pu ᴜ (Pu x Pu)) _{13}\{1} = (12N + {7}) ᴜ (30N + {7}) ∪ (6(Pu ∪ (Pu x Pu)) + {7}))**

**and:**

**(Pu ᴜ (Pu x Pu)) = (12N + {5,7}) ᴜ (18N + {5}) ᴜ (30N + {7}) ᴜ (42N + {5}) ∪ (6Pu + {5,7}) ∪ (6(Pu x Pu) + {5,7}))**

**(Pu ∪ (Pu x Pu))= **

**= [(24N ± {5,7}) ᴜ (24N – {-1,1,11,13})] \ [(12N ± {3}) ᴜ (30N ± {5}) ᴜ (42N ± {7})]**

**∀ p>23 : p mod 24 = {1,5,7,11,13,17,19,23}**

**Pu = **

**= {(12n ± {1}) ᴜ (12n ± {5}); ****n Ꞓ N \ [{12(N) ^{{2,3,5,7}}} ᴜ {(12N ± {1})^{{2,3,5,7}}} ᴜ {(12N ± {5})^{{2,3,5,7}}} ᴜ {4(3(N)^{2} ± N)} ᴜ {6(2(N)^{2} ± N)}]} **

**\ ({30N ± {5}} ᴜ {42N ± {7}})**